Система счисления (англ. numeral system или system of numeration) - символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков

Что такое основание и база системы счисления?

Определение: Основанием системы счисления называется количество разных знаков либо символов, которые
используются для изображения цифр в этой системе.
Основанием принимают всякое натуральное число — 2, 3, 4, 16 и т.д. То есть, существует безграничное
множество позиционных систем. Например для десятичной системы основание равно 10.

Определить основание очень легко, нужно только пересчитать количество значащих цифр в системе. Если проще, то это число, с которого начинается второй разряд у числа. Мы, например, используем цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Их ровно 10, поэтому основание нашей системы счисления тоже 10, и система счисления называется “десятичная”. В вышеприведенном примере используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (вспомогательные 10, 100, 1000, 10000 и т. д. не в счет). Основных цифр здесь тоже 10, и система счисления – десятичная.

База системы - это последовательность цифр, используемых для записи . Ни в одной системе нет цифры, равной основанию системы.

Как можно догадаться, сколько есть чисел, столько же может быть и оснований систем счисления. Но используются только самые удобные основания систем счисления. Как вы думаете, почему основание самой употребительной человеческой системы счисления 10? Да, именно потому, что на руках у нас 10 пальцев. “Но на одной то руке всего пять пальцев” – скажут некоторые и будут правы. История человечества знает примеры пятеричных систем счисления. “А с ногами – двадцать пальцев” – скажут другие, и будут тоже абсолютно правы. Именно так считали индейцы Майя. Это даже видно по их цифрам.

Десятичная система счисления

Мы все привыкли при счете использовать цифры и числа, знакомые нам с детства. Один, два, три, четыре и т.д. В нашей повседневной системе счисления всего десять цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), из которых мы составляем любые числа. Дойдя до десятка, мы добавляем единицу к разряду левее и снова начинаем в самом правом разряде отсчитывать с нуля. Такая система счисления называется десятичной.

Не трудно догадаться, что выбрали её наши предки потому что количество палецев на обеих руках равно десяти. Но какие еще бывают системы счисления? Всегда ли использовали десятичную систему счисления или были и другие?

История возникновения систем счисления

До изобретения нуля для записи чисел применялись специальные знаки. У каждого народа они были своими. В Древнем Риме, например, господствовала непозиционная система счисления.

Систему счисления называют непозиционной, если значение цифры не зависит от занимаемого ею места. Наиболее совершенными системами счисления считались системы счисления, которые использовались на Руси и в Древней Греции.

В них большие числа обозначали буквами, но с добавлением дополнительных значков (1 – a, 100 –i и т.д.). Другой непозиционной системой счисления являлась система, которая использовалась в Древнем Вавилоне. В своей системе жители Вавилона использовали запись в «два этажа» и всего три знака: Единица в вавилонской системе счисления - для единицы, Десяток в вавилонской системе счисления - для десятка и Нуль в вавилонской системе счисления - для нуля.

Позиционные системы счисления

Шагом вперед стали позиционные системы. Сейчас повсеместно победила десятичная, но есть и другие системы, часто используемые в прикладных науках. Примером такой системы счисления может служить двоичная система счисления.
Двоичная система счисления

Именно на ней общаются компьютеры и вся электроника у вас дома. В этой системе счисления используются всего две цифры: 0 и 1. Вы спросите, почему было не научить компьютер считать до десяти, как человека? Ответ кроется на поверхности.

Научить машину различать два символа легко: включено – значит, 1, выключено – значит 0; есть ток – 1, нет тока – 0. Были попытки сделать машины, которые могли бы различать большее количество цифр. Но все они оказались ненадежными, компьютеры все время путали: то ли 1 к ним пришло, то ли 2.

Нас окружает множество различных систем счисления. Каждая из них полезна в своей области. И ответ на вопрос, какую и когда использовать, остается за нами.

Перевод в десятичную систему счисления

Задание 1. Какому числу в десятичной системе счисления соответствует число 24 16 ?

Решение.

24 16 = 2 * 16 1 + 4 * 16 0 = 32 + 4 = 36

Ответ. 24 16 = 36 10

Задание 2. Известно, что X = 12 4 + 4 5 + 101 2 . Чему равно число X в десятичной системе счисления?

Решение.

12 4 = 1 * 41 + 2 * 40 = 4 + 2 = 6
4 5 = 4 * 5 0 = 4
101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5
Находим число: X = 6 + 4 + 5 = 15

Ответ. X = 15 10

Задание 3. Вычислите значение суммы 10 2 + 45 8 + 10 16 в десятичной системе счисления.

Решение.

Переведем каждое слагаемое в десятичную систему счисления:
10 2 = 1 * 2 1 + 0 * 2 0 = 2
45 8 = 4 * 8 1 + 5 * 8 0 = 37
10 16 = 1 * 16 1 + 0 * 16 0 = 16
Сумма равна: 2 + 37 + 16 = 55

Перевод в двоичную систему счисления

Задание 1. Чему равно число 37 в двоичной системе счисления?

Решение.

Можно выполнить преобразование делением на 2 и комбинацией остатков в обратном порядке.

Другой способ – это разложить число на сумму степеней двойки, начиная со старшей, вычисляемый результат которой меньше данного числа. При преобразовании пропущенные степени числа следует заменять нулями:

37 10 = 32 + 4 + 1 = 2 5 + 2 2 + 2 0 = 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 100101

Ответ. 37 10 = 100101 2 .

Задание 2. Сколько значащих нулей в двоичной записи десятичного числа 73?

Решение.

Разложим число 73 на сумму степеней двойки, начиная со старшей и умножая пропущенные степени в дальнейшем на нули, а существующие на единицу:

73 10 = 64 + 8 + 1 = 2 6 + 2 3 + 2 0 = 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 1001001

Ответ. В двоичной записи десятичного числа 73 присутствует четыре значащих нуля.

Задание 3. Вычислите сумму чисел x и y при x = D2 16 , y = 37 8 . Результат представьте в двоичной системе счисления.

Решение.

Вспомним, что каждая цифра шестнадцатеричного числа формируется четырьмя двоичными разрядами, каждая цифра восьмеричного числа – тремя:

D2 16 = 1101 0010
37 8 = 011 111

Сложим полученные числа:

11010010 11111 -------- 11110001

Ответ. Сумма чисел D2 16 и y = 37 8 , представленная в двоичной системе счисления равна 11110001.

Задание 4. Дано: a = D7 16 , b = 331 8 . Какое из чисел c , записанных в двоичной системе счисления, отвечает условию a < c < b ?

1. 11011001
2. 11011100
3. 11010111
4. 11011000

Решение.

Переведем числа в двоичную систему счисления:

D7 16 = 11010111
331 8 = 11011001

Первые четыре разряда у всех чисел совпадают (1101). Поэтому сравнение упрощается до сравнения младших четырех разрядов.

Первое число из перечня равно числу b , следовательно, не подходит.

Второе число больше как b . Третье число равно a .

Только четвертое число подходит: 0111 < 1000 < 1001.

Ответ. Четвертый вариант (11011000) отвечает условию a < c < b .

Задания на определение значений в различных системах счисления и их оснований

Задание 1. Для кодирования символов @, $, &, % используются двухразрядные последовательные двоичные числа. Первому символу соответствует число 00. С помощью данных символов была закодирована такая последовательность: $%&&@$. Декодируйте данную последовательность и переведите результат в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение.

1. Сопоставим двоичные числа кодируемым ими символам:
00 - @, 01 - $, 10 - &, 11 - %

3. Переведем двоичное число в шестнадцатеричную систему счисления:
0111 1010 0001 = 7A1

Ответ. 7A1 16 .

Задание 2. В саду 100 x фруктовых деревьев, из которых 33 x – яблони, 22 x – груши, 16 x – сливы, 17 x - вишни. Чему равно основание системы счисления (x).

Решение.

1. Заметим, что все слагаемые – двузначные числа. В любой системе счисления их можно представить так:
a * x 1 + b * x 0 = ax + b, где a и b – это цифры соответствующих разрядов числа.
Для трехзначного числа будет так:
a * x 2 + b * x 1 + c * x 0 = ax 2 + bx + c

2. Условие задачи таково:
33 x + 22 x + 16 x + 17 x = 100 x
Подставим числа в формулы:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x 2 + 0x + 0
7x + 18 = x 2

3. Решим квадратное уравнение:
-x2 + 7x + 18 = 0
D = 7 2 – 4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121. Квадратный корень из D равен 11.
Корни квадратного уравнения:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 или x = (-7 - 11) / (2 * (-1)) = 9

4. Отрицательное число не может быть основанием системы счисления. Поэтому x может быть равен только 9.

Ответ. Искомое основание системы счисления равно 9.

Задание 3. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 12 записывается как 110. Найдите это основание.

Решение.

Сначала распишем число 110 через формулу записи чисел в позиционных системах счисления для нахождения значения в десятичной системе счисления, а затем найдем основание методом перебора.

110 = 1 * x 2 + 1 * x 1 + 0 * x 0 = x 2 + x

Нам надо получить 12. Пробуем 2: 2 2 + 2 = 6. Пробуем 3: 3 2 + 3 = 12.

Значит основание системы счисления равно 3.

Ответ. Искомое основание системы счисления равно 3.

Задание 4. В какой системе счисления десятичное число 173 будет представлено как 445?

Решение .
Обозначим неизвестное основание за Х. Запишем следующее уравнение:
173 10 = 4*Х 2 + 4*Х 1 + 5*Х 0
С учетом того, что любое положительное число в нулевой степени равно 1 перепишем уравнение (основание 10 не будем указывать).
173 = 4*Х 2 + 4*Х + 5
Конечно, подобное квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта, но есть более простое решение. Вычтем из правой и левой части по 4. Получим
169 = 4*Х 2 + 4*Х + 1 или 13 2 = (2*Х+1) 2
Отсюда получаем 2*Х +1 = 13 (отрицательный корень отбрасываем). Или Х = 6.
Ответ: 173 10 = 445 6

Задачи на нахождение нескольких оснований систем счисления

Есть группа задач, в которых требуется перечислить (в порядке возрастания или убывания) все основания систем счисления, в которых представление данного числа заканчивается на заданную цифру. Эта задача решается довольно просто. Сначала нужно из исходного числа вычесть заданную цифру. Получившееся число и будет первым основанием системы счисления. А все другие основания могут быть только делителями этого числа. (Данное утверждение доказывается на основе правила перевода чисел из одной системы счисления в другую – см. п.4). Помните только, что основание системы счисления не может быть меньше заданной цифры !

Пример
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 24 оканчивается на 3.

Решение
24 – 3 =21 – это первое основание (13 21 = 13*21 1 +3*21 0 = 24).
21 делится на 3 и на 7. Число 3 не подходит, т.к. в системе счисления с основанием 3 нет цифры 3.
Ответ: 7, 21

Назначение сервиса . Сервис предназначен для перевода чисел из одной системы счисления в другую в онлайн режиме. Для этого выберите основание системы, из которой необходимо перевести число. Вводить можно как целые, так и числа с запятой.

Можно вводить как целые числа, например 34 , так и дробные, например, 637.333 . Для дробных чисел указывается точность перевода после запятой.

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:

Способы представления чисел

Двоичные (binary) числа – каждая цифра означает значение одного бита (0 или 1), старший бит всегда пишется слева, после числа ставится буква «b». Для удобства восприятия тетрады могут быть разделены пробелами. Например, 1010 0101b.
Шестнадцатеричные (hexadecimal) числа – каждая тетрада представляется одним символом 0...9, А, В, ..., F. Обозначаться такое представление может по-разному, здесь используется только символ «h» после последней шестнадцатеричной цифры. Например, A5h. В текстах программ это же число может обозначаться и как 0хА5, и как 0A5h, в зависимости от синтаксиса языка программирования. Незначащий ноль (0) добавляется слева от старшей шестнадцатеричной цифры, изображаемой буквой, чтобы различать числа и символические имена.
Десятичные (decimal) числа – каждый байт (слово, двойное слово) представляется обычным числом, а признак десятичного представления (букву «d») обычно опускают. Байт из предыдущих примеров имеет десятичное значение 165. В отличие от двоичной и шестнадцатеричной формы записи, по десятичной трудно в уме определить значение каждого бита, что иногда приходится делать.
Восьмеричные (octal) числа – каждая тройка бит (разделение начинается с младшего) записывается в виде цифры 0–7, в конце ставится признак «о». То же самое число будет записано как 245о. Восьмеричная система неудобна тем, что байт невозможно разделить поровну.

Алгоритм перевода чисел из одной системы счисления в другую

Перевод целых десятичных чисел в любую другую системы счисления осуществляется делением числа на основание новой системы счисления до тех пор, пока в остатке не останется число меньшее основания новой системы счис­ления. Новое число записывается в виде остатков деления, начиная с последнего.
Перевод правильной десятичной дроби в другую ПСС осуществляется умножением только дробной части числа на основание новой системы счисления до тех пор пока в дробной части не останутся все нули или пока не будет достигнута заданная точность перевода. В результате выполнения каждой операции умножения формируется одна цифра нового числа начиная со старшего.
Перевод неправильной дроби осуществляется по 1 и 2 правилу. Целую и дробную часть записывают вместе, отделяя запятой.

Пример №1 .



Перевод из 2 в 8 в 16 системы счисления.
Эти системы кратны двум, следовательно, перевод осуществляется с использованием таблицы соответствия (см. ниже).

Для перевода числа из двоичной системы счисления в восьмиричную (шестнадцатиричную) необходимо от запятой вправо и влево разбить двоичное число на группы по три (четыре – для шестнадцатиричной) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние группы. Каждую группу заменяют соответствующей восьмиричной или шестнадцатиричной цифрой.

Пример №2 . 1010111010,1011 = 1.010.111.010,101.1 = 1272,51 8
здесь 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1

При переводе в шестнадцатеричную систему необходимо делить число на части, по четыре цифры, соблюдая те же правила.
Пример №3 . 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13 HEX
здесь 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13

Перевод чисел из 2 , 8 и 16 в десятичную систему исчисления производят путем разбивания числа на отдельные и умножения его на основание системы (из которой переводится число) возведенное в степень соответствующую его порядковому номеру в переводимом числе. При этом числа нумеруются влево от запятой (первое число имеет номер 0) с возрастанием, а в правую сторону с убыванием (т.е. с отрицательным знаком). Полученные результаты складываются.

Пример №4 .
Пример перевода из двоичной в десятичную систему счисления.

1010010,101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 -2 +1·2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0.5+0+0.125 = 82.625 10 Пример перевода из восьмеричной в десятичную систему счисления. 108.5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0.625 = 72.625 10 Пример перевода из шестнадцатеричной в десятичную систему счисления. 108.5 16 = 1·16 2 +0·16 1 +8·16 0 + 5·16 -1 = 256+0+8+0.3125 = 264.3125 10

Еще раз повторим алгоритм перевода чисел из одной системы счисления в другую ПСС

1. Из десятичной системы счисления:
   • разделить число на основание переводимой системы счисления;
   • найти остаток от деления целой части числа;
   • записать все остатки от деления в обратном порядке;
2. Из двоичной системы счисления
   • Для перевода в десятичную систему счисления необходимо найти сумму произведений основания 2 на соответствующую степень разряда;
   • Для перевода числа в восьмеричную необходимо разбить число на триады.
     Например, 1000110 = 1 000 110 = 106 8
   • Для перевода числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную необходимо разбить число на группы по 4 разряда.
     Например, 1000110 = 100 0110 = 46 16

Позиционной называется система , для которой значимость или вес цифры зависит от ее места расположения в числе. Соотношение между системами выражается таблицей.
Таблица соответствия систем счисления:

Двоичная СС	Шестнадцатеричная СС
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

Таблица для перевода в восьмеричную систему счисления

Пример №2 . Перевести число 100,12 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления и обратно. Пояснить причины расхождений.
Решение .
1 Этап. .

Остаток от деления записываем в обратном порядке. Получаем число в 8-ой системе счисления: 144
100 = 144 8

Для перевода дробной части числа последовательно умножаем дробную часть на основание 8. В результате каждый раз записываем целую часть произведения.
0.12*8 = 0.96 (целая часть 0 )
0.96*8 = 7.68 (целая часть 7 )
0.68*8 = 5.44 (целая часть 5 )
0.44*8 = 3.52 (целая часть 3 )
Получаем число в 8-ой системе счисления: 0753.
0.12 = 0.753 8

100,12 10 = 144,0753 8

2 Этап. Перевод числа из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления .
Обратный перевод из восьмеричной системы счислений в десятичную.

Для перевода целой части необходимо умножить разряд числа на соответствующую ему степень разряда.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100

Для перевода дробной части необходимо разделить разряд числа на соответствующую ему степень разряда
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199

144,0753 8 = 100,96 10
Разница в 0,0001 (100,12 - 100,1199) объясняется погрешностью округлений при переводе в восьмеричную систему счислений. Эту погрешность можно уменьшить, если взять большее число разрядов (например, не 4, а 8).

Перед тем, как приступить к решению задач, нам нужно понять несколько несложных моментов.

Рассмотрим десятичное число 875. Последняя цифра числа (5) – это остаток от деления числа 875 на 10. Последние две цифры образуют число 75 – это остаток от деления числа 875 на 100. Аналогичные утверждения справедливы для любой системы счисления:

Последняя цифра числа – это остаток от деления этого числа на основание системы счисления.

Последние две цифры числа – это остаток от деления числа на основание системы счисления в квадрате.

Например, . Разделим 23 на основание системы 3, получим 7 и 2 в остатке (2 – это последняя цифра числа в троичной системе). Разделим 23 на 9 (основание в квадрате), получим 18 и 5 в остатке (5 = ).

Вернемся опять к привычной десятичной системе. Число = 100000. Т.е. 10 в степени k– это единица и k нулей.

Аналогичное утверждение справедливо для любой системы счисления:

Основание системы счисления в степени k в этой системе счисления записывается как единица и k нулей.

Например, .

1. Поиск основания системы счисления

Пример 1.

В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 27 записывается в виде 30. Укажите это основание.

Решение:

Обозначим искомое основание x. Тогда .Т.е. x = 9.

Пример 2.

В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 13 записывается в виде 111. Укажите это основание.

Решение:

Обозначим искомое основание x. Тогда

Решаем квадратное уравнение, получаем корни 3 и -4. Поскольку основание системы счисления не может быть отрицательным, ответ 3.

Ответ: 3

Пример 3

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 29 оканчивается на 5.

Решение:

Если в некоторой системе число 29 оканчивается на 5, то уменьшенное на 5 число (29-5=24) оканчивается на 0. Ранее мы уже говорили, что число оканчивается на 0 в том случае, когда оно без остатка делится на основание системы. Т.е. нам нужно найти все такие числа, которые являются делителями числа 24. Эти числа: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Заметим, что в системах счисления с основанием 2, 3, 4 нет числа 5 (а в формулировке задачи число 29 оканчивается на 5), значит остаются системы с основаниями: 6, 8, 12,

Ответ: 6, 8, 12, 24

Пример 4

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 71 оканчивается на 13.

Решение:

Если в некоторой системе число оканчивается на 13, то основание этой системы не меньше 4 (иначе там нет цифры 3).

Уменьшенное на 3 число (71-3=68) оканчивается на 10. Т.е. 68 нацело делится на искомое основание системы, а частное от этого при делении на основание системы дает в остатке 0.

Выпишем все целые делители числа 68: 2, 4, 17, 34, 68.

2 не подходит, т.к. основание не меньше 4. Остальные делители проверим:

68:4 = 17; 17:4 = 4 (ост 1) – подходит

68:17 = 4; 4:17 = 0 (ост 4) – не подходит

68:34 = 2; 2:17 = 0 (ост 2) – не подходит

68:68 = 1; 1:68 = 0 (ост 1) – подходит

Ответ: 4, 68

2. Поиск чисел по условиям

Пример 5

Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием четыре оканчивается на 11?

Решение:

Для начала выясним, как выглядит число 25 в системе счисления с основанием 4.

Т.е. нам нужно найти все числа, не больше , запись которых оканчивается на 11. По правилу последовательного счета в системе с основанием 4,
получаем числа и . Переводим их в десятичную систему счисления:

Ответ: 5, 21

3. Решение уравнений

Пример 6

Решите уравнение:

Ответ запишите в троичной системе (основание системы счисления в ответе писать не нужно).

Решение:

Переведем все числа в десятичную систему счисления:

Квадратное уравнение имеет корни -8 и 6. (т.к. основание системы не может быть отрицательным). .

Ответ: 20

4. Подсчет количества единиц (нулей) в двоичной записи значения выражения

Для решения этого типа задач нам нужно вспомнить, как происходит сложение и вычитание «в столбик»:

При сложении происходит поразрядное суммирование записанных друг под другом цифр, начиная с младших разрядов. В случае, если полученная сумма двух цифр больше или равна основанию системы счисления, под суммируемыми цифрами записывается остаток от деления этой суммы на основание системы, а целая часть от деления этой суммы на основание системы прибавляется к сумме следующих разрядов.

При вычитании происходит поразрядное вычитание записанных друг под другом цифр, начиная с младших разрядов. В случае, если первая цифра меньше второй, мы «занимаем» у соседнего (большего) разряда единицу. Занимаемая единица в текущем разряде равна основанию системы счисления. В десятичной системе это 10, в двоичной 2, в троичной 3 и т.д.

Пример 7

Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения: ?

Решение:

Представим все числа выражения, как степени двойки:

В двоичной записи двойка в степени n выглядит, как 1 и n нулей. Тогда суммируя и , получим число, содержащее 2 единицы:

Теперь вычтем из получившегося числа 10000. По правилам вычитания занимаем у следующего разряда.

Теперь прибавляем к получившемуся числу 1:

Видим, что у результата 2013+1+1=2015 единиц.

Система счисления - это метод записи числа при помощи указанного набора специальных знаков (цифр).

Система счисления:

• даёт представление множества чисел (целых и/или вещественных);

• даёт каждому числу уникальное представление (либо, хотя бы, стандартное представление);

• отображает алгебраическую и арифметическую структуру числа.

Запись числа в некоторой системе счисления называется кодом числа .

Отдельная позиция в отображении числа называется разряд , значит, номер позиции - номер разряда .

Количество разрядов в записи числа называют разрядностью и совпадает с его длиной.

Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. Позиционные системы счисления делятся

на однородные и смешанные .

восьмеричная система счисления, шестнадцатеричная система счисления и другие системы счисления.

Перевод систем счисления. Числа можно перевести из одной системы счисления в другую.

Таблица соответствия цифр в различных системах счисления.